El
siguiente proyecto de investigación está destinado a alumnos de Matemáticas de 2º
de E.S.O. Es un proyecto interdisciplinar en el que se mezclan Matemáticas, Historia,
Arte y Educación Plástica.
1. OBJETIVOS
a)
Desarrollar actitudes
positivas hacia la lectura y la investigación.
b)
Conocer los tipos de mosaicos: regulares, semirregulares e irregulares.
c) Identificar las transformaciones de
una figura a otra mediante movimientos en el plano.
d)
Analizar diseños cotidianos, obras de arte y configuraciones de la naturaleza.
e)
Construir mosaicos con medios manuales e informáticos.
f)
Valorar el patrimonio cultural, histórico y artístico.
2. CONTENIDOS
a)
Definición de tesela
y mosaico. Tipos de mosaicos.
b)
La Alhambra. Construcción de los polígonos nazaríes.
c)
Construcción geométrica de mosaicos nazaríes.
3. METODOLOGIA
El desarrollo
de la investigación se realizará en grupos de tres alumnos. Excepto la construcción
de un mosaico nazarí, que será individual.
Los alumnos harán uso de todos los
medios disponibles a su alcance: libros de arte, de matemáticas, enciclopedias,
internet...
La presentación del proyecto podrán
hacerla mediante medios informáticos (word, power point, infografías...) o
manuscritos. La construcción del mosaico podrán hacerla con regla y compás o
con el programa Geogebra.
Cada grupo hará una exposición de su
proyecto.
4. DESARROLLO DEL PROYECTO
4.1. TEMPORALIZACIÓN
El proyecto se desarrollará a lo
largo de un trimestre, dedicando una hora semanal en clase.
4.2.
ACTIVIDADES
ACTIVIDAD
1. LECTURA.
“LOS MOSAICOS DE LA ALHAMBRA”
La
Alhambra de Granada es el nombre de la residencia real de la dinastía nazarí,
rodeada de arboleda y jardines, desde donde se domina parte de la ciudad y su
vega. Se comenzó a construir en el año 1238 por el fundador de la citada
dinastía, y no se finalizó todo el conjunto hasta la segunda mitad del siglo
XIV. En muchas de sus salas se encuentran mosaicos de extraordinaria belleza.
En
1922 el matemático de origen húngaro George Polya llegó a la conclusión de que
el número de maneras distintas de construir un recubrimiento del plano a partir
de un paralelogramo básico es exactamente diecisiete, igual que el número de
tipos de grupos cristalográficos planos. Este tipo de recubrimientos se
encuentra repetido, en diseños de telas y papeles, en relieves de madera, en
decoraciones de paredes, etc., a lo largo de todo el planeta.
En
los mosaicos y las celosías de la Alhambra de Granada aparecen las diecisiete
formas posibles de teselar el plano. Lo realmente importante es que los árabes
descubrieron esto antes del siglo XIII y no se sabe de ningún otro muestrario
completo de estas posibles teselaciones hasta el siglo XX; es decir ha sido
necesario desarrollar muchos conceptos matemáticos para conseguir llegar a este
nivel de depuración del pensamiento geométrico.
Uno
de los geómetras más importantes del siglo XX, el inglés H. S. M. Coxeter,
quien desde el año 1936 trabajó en la Universidad de Toronto (Canadá), al visitar
la Alhambra quedó fascinado y dijo sobre los mosaicos lo siguiente: “El arte de llenar el plano por repetición
de un motivo alcanzó su cenit en la España del siglo XIII, época en que los
árabes utilizaron todo tipo de desplazamientos en su intrincada decoración de
la Alhambra. Su gusto por los motivos abstractos y geométricos se debía a la
estricta observancia del Segundo Mandamiento de su religión que dice no
grabarás ninguna imagen...”
Muchos mosaicos de
la Alhambra están construidos con los llamados “polígonos nazaríes”: el avión,
el hueso, la pajarita, el pétalo y el huso. Estos polígonos se obtienen a partir
del cuadrado, el triángulo equilátero y el rombo, mediante el principio de
conservación de la superficie pero no de la forma. A continuación se ve el
proceso para transformar el cuadrado, el triángulo equilátero y el rombo para
obtener el avión, el hueso, la pajarita y el pétalo.
J. R. VIZMANOS: “Mosaicos: De la Alhambra de Granada a las Gallinitas de Penrose”
Curso C.D.L. Madrid, 2002
ACTIVIDAD
2. PUESTA EN COMÚN. (Grupos de 3 alumnos)
Por
grupos, realizar una puesta en común de la lectura, planteando preguntas cómo:
a) ¿Has oído hablar del tema?.
b) Consulta en una enciclopedia o en
internet el significado de tesela, mosaico...
c) ¿Has visitado la Alhambra?. Busca
información sobre este palacio.
d) Busca fotografías de algunos de los
mosaicos de la Alhambra.
ACTIVIDAD
3. EL PROBLEMA DE LA
TESELACIÓN DEL PLANO. (Grupos de 3 alumnos)
a) Construye en cartulina distintos
polígonos: triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos...
b) Intenta cubrir un folio con cada uno
de los tipos construidos.
c) Comprueba que solamente los
triángulos equiláteros, los cuadrados y los hexágonos regulares pueden cubrir
el folio y, en general, una superficie. Son los llamados mosaicos regulares.
d) Justifica por qué esto es así.
Redacta cuidadosamente la justificación e indica las fuentes que has utilizado.
e) Investiga sobre teselas o
recubrimientos que no sean del tipo anterior. Es decir, que estén formados por
dos o más polígonos regulares con todos sus vértices en contacto.
ACTIVIDAD 4.
LOS MOSAICOS DE LA
ALHAMBRA. (Actividad individual)
a) Investiga en libros de arte,
enciclopedias, internet... cómo se construyen los polígonos nazaríes básicos de
los que habla la lectura: el avión, el hueso, la pajarita, el pétalo y el huso.
b) Consulta la siguiente página web y
fíjate en la construcción geométrica de algunos mosaicos nazaríes.
c) Construye un mosaico nazarí. Puedes
hacerlo usando una de estas herramientas:
-En un DIN A4, con regla y compás.
-Usando el programa informático
Geogebra.
ACTIVIDAD
5. EXPOSICIÓN.
Cada
grupo realizará una exposición de sus investigaciones y trabajos.
5. EVALUACIÓN
Se valorarán los siguientes aspectos:
a) Presentación
y limpieza.
b) Originalidad
y creatividad.
c) Capacidad
de búsqueda de información.
d) Cumplir las fases del proceso de
investigación.
e) Claridad
expositiva.
f) Cooperación
igualitaria de los miembros del equipo.
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